Leskovar se je rodil 3. januarja 1970 v Kranju. Odraščal je na Kokrici pri Kranju. Leta 1989 je vstopil v ljubljansko bogoslovje in po petih letih diplomiral iz teologije in bil posvečen v diakona. Konec junija 1995 je v Ljubljani prejel duhovniško posvečenje in bil imenovan za kaplana župnije Domžale.
Po dveh letih so ga poslali na nadaljnji študij v Rim, kjer je leta 1999 pridobil magisterij, dve leti kasneje pa še doktorat iz cerkvenega prava na papeški univerzi Gregoriani. Obenem je opravil izobraževanje za vatikansko diplomatsko službo, ki jo je nastopil leta 2001 na apostolski nunciaturi v Bangladešu.
Leta 2003 je bil prestavljen na državno tajništvo svetega sedeža v Vatikanu, kjer je deloval naslednjih enajst let. V istem obdobju je bil tudi pomočnik duhovnega asistenta bratovščine svetih apostolov Petra in Pavla v Vatikanu ter redni spovednik na eni izmed rimskih župnij.
Leta 2015 so ga imenovali za svetovalca nunciature v Nemčiji, leta 2018 pa je prevzel isto vlogo na nunciaturi v Indiji in Nepalu.
Poleg maternega jezika Leskovar govori italijansko, angleško, nemško, hrvaško, francosko in špansko, so še zapisali v Slovenski škofovski konferenci.
