Bubnić je svojo košarkarsko pot začel v klubu Hermes Analitica v Zagrebu, kjer je igral prve tri sezone. Sledila je njegova selitev v Slovenijo, kjer je kariero začel pri Geoplinu Slovanu v sezoni 2007/08. Že v istem košarkarskem letu je prestopil v Elektro Esotech, kjer je v povprečju dosegal nekaj več kot deset točk na tekmo. V naslednji sezoni je odšel v Koper ter potem v Zlatorog, kjer je bil v sezoni 2009/2010 eden iz med nosilcev igre s povprečjem 14,2 točke in 5,7 skoka na tekmo. Dobre igre so opazili v domžalskem Heliosu, kjer jih je okrepil za naslednji dve sezoni. V sezoni 2011/12 je v ligi ABA dosegal povprečje 10,2 točke in 4,2 skoka na tekmo, v slovenskem prvenstvu pa 12,6 točke in 5 skokov.
"Dražen Bubnić je že izkušen igralec, ki ga dobro poznamo s slovenskih parketov. Je vsestranski igralec, ki ga odlikuje predvsem delavnost, njegovo košarkarsko znanje ni sporno, ima soliden met in napreduje iz sezone v sezono. Verjamem, da bo 'Buba' dobro pomagal nosilcem naše ekipe v vseh tekmovanjih, kjer nastopamo," je o novi okrepitvi povedal Sašo Filipovski, trener Uniona Olimpije.
