V svoji dolgi in bogati šahovski karieri je Bruno Parma osvojil šest kolajn na šahovskih olimpijadah – štiri srebrne (1962, 1964, 1968, 1974) in dve bronasti (1970, 1980). Za jugoslovansko reprezentanco, eno najmočnejših ekip tistega časa, je nastopil na osmih šahovskih olimpijadah in pri tem v vseh nastopih izgubil le tri partije.
Bruno Parma je zablestel že kot mladinec in je leta 1961 na Nizozemskem postal mladinski svetovni prvak. To mu je uspelo kot drugemu Jugoslovanu, do danes pa je tudi edini Slovenec s tem nazivom. Že dve leti pozneje je osvojil velemojstrski naziv.
Parma dobil kopico priznanj in nagrad
Za svoje dosežke je prejel več priznanj Šahovske zveze Slovenije in športnih organizacij, najvišje priznanje ŠZS (Vidmarjevo priznanje) in Bloudkovo nagrado za izredne dosežke v šahu.
»Njegov vpliv na slovenski šah je bil izjemen, saj je navdihnil številne generacije šahistov. Slovenska šahovska skupnost se ga bo spominjala kot pionirja vrhunskega tekmovalnega šaha in predanega ambasadorja igre,« je ob njegovi smrti med drugim zapisala slovenska krovna šahovska zveza.