Roelofs je nizozemski umetnik, ki na podlagi matematičnih predpostavk in algoritmov ustvarja umetniške objekte, poliedrične, spiralne in fraktalne strukture. Te so – tako lahko domnevamo – estetske, ker so matematično pravilne.
Matematika sta Ljubljano obiskala minuli teden, ko je slovenski zavod za popularizacijo matematike Mathema na Fakulteti za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani organiziral mednarodno konferenco o matematiki in umetnosti. V zabavnem pogovoru za Dnevnik sta tej malo priljubljeni vedi – nepriljubljeni med šolarji, zapostavljeni med politiki – snela zoprno masko. Matematika je kot kuharija, je rekel Huylebrouck. Klobasa je v svojem bistvu navadno meso, vendar stlačeno v cilinder. Kuharji nas navdušujejo s hrano, matematiki pa s številkami.
Prijatelj matematik je na gimnazijskih zabavah k dekletom pristopal na »matematični« način. Ni jih spraševal za telefonske številke, ampak ali vedo, koliko je logaritem od nič. Čakal je, katera bo povedala pravilen odgovor.Huylebrouck: Logaritem od nič je neskončno.
Je bil to izviren pristop do deklet ali piflarsko vprašanje, kakršnega so sposobni na zabavah postaviti samo tipični matematiki?Huylebrouck: Odvisno od tega, kako se mu je izšlo. (smeh)
Danes je poročen.Huylebrouck: Hja, kakšno ženo pa je dobil?
Slikarko.Huylebrouck: Dobro mu je uspelo! Morda je to nasvet za fante, ki iščejo dekleta. Naj poskusijo z matematiko!
Ali sicer opažate, da se ljudje bojijo matematike? Kako se odzivajo na matematične probleme?Huylebrouck: Res je, da ljudje največkrat pravijo, da matematike ne marajo in da je nikoli niso imeli radi. Nekateri znani ljudje to celo javno razglašajo. Zdi se mi čudno, ko pravijo, da so bili vedno slabi v matematiki, in to izrečejo celo z nekakšnim ponosom. Ampak to jih naredi popularne, saj se splošna publika lahko z njimi identificira. Ne vem, kako je v Sloveniji, ampak v Belgiji najdete celo med politiki takšne, ki pravijo, da ne marajo matematike. A ob tem seveda dodajo, da je matematika pomembna za izobrazbo, za to, da bi bili konkurenčni, da je pomembna za prihodnost naše države. Odnos do matematike je dvoličen.
Toda zakaj imajo ljudje takšen odnos do matematike?Huylebrouck: Delno je njihov odnos odvisen od tega, kakšen je bil njihov pouk matematike v šoli. Matematiko so velikokrat učili na podoben način, kot je nekoč potekala športna vzgoja. Učitelji športa so otrokom ponudili samo gimnastične vaje: 1, 2, 3, 1, 2, 3 ... ponavljanje gibov v neskončnost. To je »švedska metoda« telovadbe, ki je zelo dolgočasna, vendar je osnova za vse druge športe. Podobno je tudi računanje osnova za druge znanstvene vede. A to je hkrati problem priprave otrok na znanstveno delo: silijo jih računati ure in ure, ne da bi vedeli, kam to vodi. To je tako, kot da bi šest let tekli okrog nogometnega igrišča in bi vam trener rekel, vidiš, nekega dne pa boš lahko brcnil žogo in zadel tisti gol tamle. Boljša možnost je, da že od začetka lahko brcaš žogo in zabiješ gol. Takrat se dobro počutiš in si motiviran. Enako je v matematiki, tudi v njej lahko zabiješ gol. Ni tako, Rinus? Ti zabiješ veliko matematičnih golov.
Rinus Roelofs: No, jaz sovražim šport, tako da ta primerjava ni preveč dobra. (smeh) Mislim, da obstajata dve vrsti matematike. Eno je matematika, ki nas obkroža, ki se je niti ne zavedamo, drugo pa je matematika, ki je zapisana v knjigah in jo predavajo matematiki. A šele če se zavemo tiste prve, ki je povsod okrog nas, bomo matematiko vzljubili. Potem bo neumno reči, da sovražimo matematiko. Samo poglejte tlakovce na cesti – to so matematični vzorci. Če hočete v sobo postaviti mizo, morate vedeti nekaj malega o merah vaše sobe. To je matematika. Meritve in številska razmerja uporabljate, ne da bi se zavedali, da gre za matematiko.
Je res, da so prva matematična orodja nastala že pred 22.000 leti?Huylebrouck: Ni povsem jasno, ali so bila to res matematična orodja, a če jih danes vzame v roke matematik, se mu bodo zdela zanimiva. Gre za koščene palice, ki so jih našli v Ishangu v Kongu. Stare so 22.000 let. Na obodu imajo vrezane po tri črte in zraven šest črt ter štiri črte in zraven osem črt. To so, jasno, dvakratniki števil. Sicer ne moremo reči, ali so tedanji ljudje res hoteli množiti. So namenoma ustvarjali matematiko ali so se samo igrali z vzorci? Vsekakor pa so te palice zanimive. V južni Afriki so denimo našli podobne koščene palice, ki imajo vrezanih devetindvajset črt. Ampak to je tudi vse. Devetindvajset črt in nič drugega. Za matematika to ni preveč zanimivo.
Na palicah iz Ishanga pa so tudi drugi vzorci. Denimo devet in devetnajst ter enaindvajset in enajst. Torej, deset minus ena, dvajset minus ena, dvajset plus ena, deset plus ena. Mene takšna najdba veseli. Pretirano pa je reči, da je to že dobro razvita matematika. Prava matematika, kot jo poznamo danes, se je začela v antični Grčiji. Tedaj so prvikrat razmišljali na abstrakten način.
Kaj pa Egipčani, ki so gradili piramide?Huylebrouck: Govorim o abstraktnem mišljenju. Pri Egipčanih so res našli papiruse, na katerih so matematični problemi zapisani v hieroglifih. Vendar gre za konkretne probleme. Eden denimo pravi »kača, Kleopatra, sonce, luna«, kar pomeni »kakšen je obseg kroga s premerom devet?« Spodaj je zapisan odgovor »kača, ščurek, kača, sonce«, kar pomeni, da je rezultat π krat premer. Podobne probleme so zapisali tudi na egiptovske piramide in lahko se vprašate, zakaj so faraoni to potrebovali. Potrebovali so praktične izračune za svoje gradnje.
To zgodbo pogosto pripovedujem, saj se otroci in odrasli ljudje sprašujejo, zakaj se morajo učiti matematiko. Kot vidimo, je matematika človeka vedno zanimala, bodisi tedaj, ko mu je bilo dovolj udobno, kot na primer faraonu, bodisi tedaj, ko mu ni bilo udobno, ko je ždel v jami in je vrezoval črtice v kosti.
Štetje in razvrščanje sta v naravi človeka?Huylebrouck: Včasih nam antropologi pripovedujejo o ljudstvu z nekega otoka na Tihem oceanu, ki domnevno ni poznalo matematike. Šteli so zgolj do dva, vse, kar je bilo več od dva, pa so imenovali »mnogo«. A celo pri njih v umetnosti najdete upodobitve vijug, ki imajo povsem matematično urejeno strukturo (matematiki ta pojav imenujejo vizualna matematika, op. p.). Niso poznali številk, vendar so razmišljali na analitičen način.
Je primaren človekov vzgib oziroma potreba prepoznati ponavljajoče se vzorce, ali – v bolj duhovnem smislu – prepoznati lepoto, estetskost, ki pa se skriva ravno v urejenosti vzorcev?Roelofs: Pomislite na primer na glasbo. V glasbi praktično izkoriščate ponavljajoče se vzorce, ritem in melodijo, in pri tem uživate. To je edini razlog, zakaj ljudje sploh ustvarjamo glasbo. Podobno je v likovni umetnosti. Poglejmo denimo, kako nastanejo poliedri. Kocka oziroma škatla. Če jo hočete izdelati iz papirja, morate malo premisliti. Kako boste prepognili papir, da bo nastala? To je kar prijetna naloga in ko vam uspe, občutite neko veselje. Rešili ste matematični problem. Izdelovanje geometrijskih likov je način, kako uživati v matematiki. Tako delujem tudi sam. Če kombinirate elemente, se vam zgodi, da izdelate kaj fascinantnega, nekaj, kar je fascinantno tudi za druge. Pokazal vam bom, kaj mislim.
(Roelofs po mizi razporedi asimetrične like, ki se na ogliščih zaključujejo s kavlji.)
Vidite, tu notri, od tega kota do nasprotnih kotov, lahko prepoznate trikotnike.
(Po namišljenih črtah papir prepogne, da nastanejo trikotniki, iz katerih štrlijo novi trikotniki s kavlji. Začne jih sestavljati in iz enakostraničnih trikotnikov nastane piramida, iz katere štrlijo kavlji.)
Vidite, to je zdaj že piramidasta škatlica, v katero lahko kaj skrijete. Toda poglejte zdaj!
(Kavlje zatakne enega v drugega in piramida se prelevi v kocko.)
Vidite, začeli smo izdelovati piramido, nastala pa je kocka! Moje početje seveda ni namenjeno samo sebi. Fascinacija nad objekti me vodi do matematičnih problemov. Ste, ko ste gledali nepravilne elemente na začetku, pričakovali, da bo iz njih lahko nastala kocka?
Sploh ne.Huylebrouck: Najlepše doživetje v matematiki je presenečenje nad tem, kaj lahko nastane iz kombinacij števil oziroma likov.
Roelofs: Sam najraje delam z otroki. Najprej sestavimo lik, nato pa se pogovarjamo o tem, kakšne lastnosti ima – koliko stranic, koliko robov, ali se v kocki »skriva« piramida?
Huylebrouck: Pa ne mislite, da je vse skupaj zgolj igračkanje. Ali ste vedeli, da je Rinus dosegel svetovno slavo, ker je prvi opazil, da se je Leonardo da Vinci zmotil?
O tem sem bral. Pri risanju rombikubooktaedra, geometrijskega lika, ki ga je razvil v zvezdo, sestavljeno iz mnogih trikotnih in štirikotnih piramid, je Leonardo na mestu, kjer bi po geometričnih pravilih morala stati trikotna piramida, narisal štirikotno piramido.Huylebrouck: In Rinus je bil prvi v petsto letih, ki je to opazil! Vsi so pisali o Leonardu, a nihče ni videl te napake. Tudi Leonardo, ki je bil nesporno genialen, ni videl napake.
Gospod Roelofs, kako ste to napako opazili? Ste intuitivno začutili, da je nekaj narobe z risbo, ali ste jo proučevali do najmanjših podrobnosti?Roelofs: Za umetnika je vedno dobro, da dvakrat pogleda tisto, kar opazuje. Potem lahko uzre nekaj drugega. To je prav poseben način opazovanja sveta okrog sebe. Sam se vedno trudim, da bi videl nekaj drugega od tistega, kar vidim.
Če na primer vzamemo kocko, ki ste jo sestavili iz papirja, vidimo, da je v njej piramida, ki ste jo sestavili najprej, tu ob strani pa so nastali še dodatni prostorčki. Kaj so te luknjice? Imajo obliko majcenih piramid, ki se držijo ena druge. Je to vaš način gledanja?Roelofs: (smeh) Tako nekako, da.
Iz moderne zgodovine je znan indijski matematik Srinivasa Ramanujan, genialni naturščik, ki se je sam naučil reševati najbolj zapletene matematične probleme. Imel naj bi izjemno intuicijo in je »videl« rešitve, še preden je vzel svinčnik v roke. Za njegove sposobnosti so izvedeli v Cambridgeu in takoj je dobil službo na univerzi.Huylebrouck: Jaz sicer mislim, da je moral kar resno študirati. Najbrž je res videl nekatere stvari, vendar je vprašanje, ali je vse to lahko dosegel zgolj z intuicijo.
Zakaj je v šoli otroke, ki imajo sicer izjemno intuicijo, z matematiko tako težko zabavati?Huylebrouck: Ker je šolski program takšen, kot je. Ne vem, kako je v Sloveniji, a v mnogih državah je cilj matematičnega pouka, da bi učence pripravili na inženirski študij. Seveda ne bodo vsi otroci postali inženirji, vendar je to cilj, saj država potrebuje inženirje. Vsi otroci morajo temu slediti, tudi če jih matematika frustrira.
Po drugi strani pa bi bilo morda dobro, da bi ljudje bolj ljubili matematiko. Bi lažje živeli, če bi znali natančneje izračunati, kolikšna je verjetnost, da bomo banki zmogli vrniti kredit? Ali izračunati, koliko denarja zapravimo za vzdrževanje avtomobila?Huylebrouck: Veliko matematikov bi vam pritrdilo, a po mojem mnenju je pošten odgovor »ne«. Mnogi ljudje dovolj uspešno uporabljajo matematiko, ne da bi se tega sploh zavedali. V razvoju človeka sta se sposobnost umetniškega ustvarjanja in sposobnost abstraktnega matematičnega mišljenja razvili približno do enake stopnje in istočasno.
Kot bi se v človeških možganih naenkrat nekaj odprlo?Roelofs: Videti je, da je nastal prostor za ustvarjanje neuporabnih stvari, za početje, ki nima praktičnega cilja. Tako v umetnosti kot v matematiki. Veliko matematičnih problemov in rešitev je nastalo brez posebnega namena, iz golega uživanja v jasnem mišljenju. Šele potem je iz tega morda nastalo tudi kaj uporabnega.
Na hodniku fakultete za matematiko je izobešena spiralna risba, grafični prikaz Fibonaccijevega zaporedja. Številke zaporedja si sledijo takole: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 ..., vprašanje obiskovalcem pa se glasi, ali lahko razberejo pravilo in nadaljujejo zaporedje. Je za obiskovalca bolje, da opazuje spiralo, ki predstavlja ta naraščajoča števila, in se zanese na intuicijo, ali da poskuša pravilo ugotoviti s preračunavanjem števil? Se matematika začne pri opazovanju naravnih struktur, kot je denimo spiralna zgradba cvetov ali polžjih hišic? Ali pa se matematika začne z golim preračunavanjem številk, katerih analogijo šele kasneje najdemo v naravi?Huylebrouck: Platon je rekel, da matematika ni ne spirala ne številke, ampak ideja, ki lebdi v prostoru. En odsev te ideje so številke, 0, 1, 1, 2, 3 in tako naprej. Drugi odsev je spirala. To lahko denimo vidite na sončnici. Če preštejete spirale, ki jih tvorijo semena na sončnici, boste našli Fibonaccijeva števila. Številke in spirale pa so zgolj namig, kakšna bi lahko bila ideja matematike. Veliko matematikov je platonistov. Verjamejo v višjo idejo matematike in v to, da sledove te višje ideje odkrivamo v materialnem svetu. Nekateri, ki verjamejo v Boga, podobno verjamejo, da ima Bog knjigo z vsemi pomembnimi matematičnimi teoremi. To, kar vidimo na Zemlji, so projekcije teoremov v naravi. Jaz sicer nisem tako naravnan. Po mojem si je matematiko izmislil človek.
Roelofs: Veliko umetnikov pravi, da je narava dober vir inspiracije. A meni se zdi, da je narava zelo omejen vir navdiha. Šele matematika lahko nadomesti tisto, česar ne najdemo v naravi. Pomislite denimo na pletenje. Pravimo, da pajek plete mrežo. V resnici pa je ne plete, ampak samo lepi niti eno na drugo. V naravi sistematičnega pletenja, kjer gre ena nit pod drugo, pa nad naslednjo in pod naslednjo, ne boste našli. V človeškem razvoju pa je bila sposobnost prepletanja elementov, da so nastale trdne strukture, kot je blago za obleke ali streha nad glavo, ključna za preživetje. Leonardo da Vinci si je denimo zamislil prepleteno kupolasto strukturo iz palic, ki je vojakom, ki so se znašli sredi divjine, omogočila, da so se skrili. Inspiracija za prepletanje kupole je prišla iz matematike, ne iz narave.
Gre pri tem za sistematična, hotena odkritja, ali za spoznanja, ki so posledica igranja z matematiko? Gospod Huylebrouck, vi ste denimo odkrili matematično povezavo med številom stekel na piramidi pred Louvrom v Parizu in številom stekel na stekleni stavbi pred Albertino v Bruslju. V Parizu naj bi bilo stekel 666, v Bruslju pa je stekel 216, kar je ravno zmnožek 6 x 6 x 6, ste ugotovili. Napisali ste članek Diabolična povezava med Parizom in Brusljem ter ga letos objavili v poljudnoznanstveni reviji Mathematical Intelligencer ...Huylebrouck: Ampak to je bila šala.
Toda kakšen je bil vaš vzgib za takšno igranje s številkami? Pri čemer ste si od vseh možnih mest izbrali ravno Pariz in Bruselj.Huylebrouck: Toda tega, kaj se bo zgodilo med Parizom in Brusljem, nisem mogel predvideti. Nisem jaz kriv! Članek sem napisal šest mesecev pred tem, ko so teroristi iz Bruslja napadli Pariz. Ko se je to zgodilo, sem klical urednika in ga vprašal, ali bo članek vseeno objavil. Rekel mi je, da je že prepozno, da je revija že natisnjena. Bilo je naključje.
Ne sprašujem vas o času objave, ampak ...Huylebrouck: Razumem, zanima vas, kdo to počne. Kdo šteje okna na stavbah in v njih išče zmnožke?
Da, kakšen um šteje okna in jih trikrat deli s šest?Roelofs: Odgovor je spet enak kot pri glasbi. Da bi bilo vaše življenje smiselno, ne potrebujete glasbe. A glasba vaše življenje obogati. Matematiki počnemo enako s številkami.
Huylebrouck: To se mi dogaja ves čas. Včeraj smo bili v restavraciji na ljubljanskem gradu, kjer smo naročili čudovito serijo jedi, kulinarični sprehod skozi Slovenijo. Jaz pa sem se spraševal, zakaj tako komplicirajo. Zakaj nam enostavno ne servirajo sira, krompirja in mesa? Na mojem krožniku je bila klobasa in pomislil sem, da je klobasa zgolj meso, stlačeno v cilinder. Zakaj ta kuhar to počne? Seveda je jasno, zakaj. Zato, da bi ljudje uživali! Matematika počne enako. S tem, da matematika kot stranski produkt prinaša tudi napredek. Če množite številke, na primer 6 x 6 x 6, je to na videz prazno množenje. Vendar se bo kdo kljub temu mogoče vprašal, zakaj sploh je na neki stavbi določeno število oken. Čemu je sledil arhitekt?
Hočete reči, da številke v naravi niso naključne, ampak imajo praktičen smisel?Huylebrouck: Seveda! Omenili ste Fibonaccijevo zaporedje. Najdemo ga v kvazikristalih, za katere je njihov odkritelj Dan Shechtman leta 2011 prejel Nobelovo nagrado. Igral se je s Fibonaccijevimi števili (pri katerih vsota dveh predhodnih števil da naslednje število, op. p.) in jih našel v kvazikristalnih strukturah. To je »igranje s številkami« na najvišji znanstveni ravni.
Če se vrnemo k Platonu – pred nekaj dnevi sem poslušal predavanje Nobelovega nagrajenca, ki ga je študent vprašal, ali je znanost razkrivanje skrivnosti narave ali razkrivanje stvarstva, božjega načrta. Predavatelj je odgovoril, da je čisto vseeno. Morda pa odkrivamo stvari, ki nimajo nobenega izvora in nobenega namena. Srečni smo že, če jih lahko odkrivamo.
